Normální rozdělení

Z GeoWikiCZ
Přejít na: navigace, hledání

Normální rozdělení pravděpodobnosti jednorozměrné náhodné veličiny X

X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}), hustota pravděpodobnosti náhodné veličinyX \dots f_{X}


f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma_{X}} e^{-\frac{1}{2}
\left(\frac{x-\mu_{X}}{\sigma_{X}}\right)^{2}}



\mu_{X} \dots
střední hodnota náhodné veličiny X \,, \; \mu_{X} := E(X) ,


\sigma_{X}^{2} \dots
variance náhodné veličiny X \,, \; \sigma_{X}^{2} := var(X).


Normální rozdělení pravděpodobnosti dvojrozměrného náhodného vektoru [X,Y]

X \sim \mathcal{N}(\mu_{X},\sigma_{X}^{2}), Y \sim \mathcal{N}(\mu_{Y},\sigma_{Y}^{2}), hustota pravděpodobnosti náhodného vektoru [X,Y] \dots f_{X, Y} .

 Pokud jsou náhodné veličiny X, Y vzájemně nezávislé, pak jejich hustota pravděpodobnosti je:  


f_{X,Y}(x, y) = f_{X}(x) \, f_{Y}(y) = \frac{1}{{2 \pi} \, \sigma_{X} \sigma_{Y}} \, e^{-\frac{1}{2}
\left(\left(\frac{x-\mu_{X}}{\sigma_{X}}\right)^{2} + \left(\frac{y-\mu_{Y}}{\sigma_{Y}}\right)^{2}\right)}


 Pokud jsou náhodné veličiny X, Y statisticky závislé, tj. f_{X,Y}(x, y) \ne f_{X}(x) \, f_{Y}(y), pak platí:


f_{X,Y}(\mathbf{x}) = \frac{1}{2 \pi \sqrt{|\mathbf{C}|}} \, e^{-\frac{1}{2}
(\mathbf{x} - {\boldsymbol \mu})^{T} \mathbf{C}^{-1}  (\mathbf{x} - {\boldsymbol \mu})}


\mathbf{x} := [x, y],

{\boldsymbol \mu} \dots vektor středních hodnot náhodného vektoru [X,Y], {\boldsymbol \mu} := \left[ E(X), E(Y) \right]^{T} ,

\mathbf{C} \dots kovarianční matice, 
\mathbf{C} :=
\left[\begin{array}{cc}
\sigma_{X,X} & \sigma_{X,Y} \\
\sigma_{Y,X} & \sigma_{Y,Y}
\end{array}\right]
:=
\left[\begin{array}{cc}
var(X) & cov(X,Y) \\
cov(Y,X) & var(Y)
\end{array}\right]
,


var(X) \dots
variance náhodné veličiny X,


cov(X, Y) \dots
kovariance náhodných veličin X, Y.


Více na české wikipedii

Zpět na stránku cvičení