Čtyři století protínání zpět

Z GeoWikiCZ
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Doc. Ing. Pavel Hánek, CSc., GaKO 2017

Roku 1617 – tedy právě před čtyřmi sty lety – Willebrord Snell van Roijen, zvaný Snellius (1591–1626), profesor matematiky v Leidenu (obr. 1, zdroj: web),

Snellius.jpg

objevitel zákonů lomu světla, publikovaných René Descartem, vyřešil tzv. problém čtyř bodů, dnes známý pod názvem protínání zpět. (Stalo se tak v souvislosti s jeho meridiánovým stupňovým měřením mezi městy Bergen op Zoom a Alkmaar, zahájeným v roce 1614. Při něm poprvé použil principu triangulace; výsledná délka kvadrantu zemského poledníku činila 10.004 km.) Roku 1692 předložil Laurent Pothenot (1650–1732) pařížské Akademii věd, založené roku 1666 Ludvíkem XIV., grafické řešení tohoto problému. Pro označení úlohy bývalo i v naší literatuře ještě v polovině 20. století používáno jmen obou vědců. Snelliovu prioritu řešení doložil roku 1790 studiem dochovaných materiálů Abraham Gotthelf Kästner (1719–  1880) z Göttingenu, ke stejnému závěru došel britský vědec George Tyrrell McCaw (1870–1942). Protínáním zpět se zabývali i další významní učenci, např. Wilhelm Schickhart (1624), Giovanni Domenico Cassini (1669, řešení s použitím Thaletovy věty), John Collins (1671, řešení s pomocným bodem; úpravu pro měřický stůl provedl Johann Carl Friedrich Gauss), Johann Heinrich Lambert (1765), Jean Henri van Swiden (1790), August Vogler (1910). Různá literatura uvádí, že autorem řešení s pomocným úhlem je Jean-Babtiste Joseph Delambre (1799), francouzský akademik Johann Karl Burckhardt (1773–1825) či již zmíněný A. G. Kästner, který též připouští, že řešení problému znali již starověcí astronomové Hipparchos a Ptolemaios.

Princip protínání zpět je známý: na stanovisku, jehož polohu v daném referenčním systému je třeba určit, měříme vodorovné směry na tři známé body, které jednoznačně definují tzv. nebezpečnou kružnici. Podmínkou řešení je, aby určovaný bod neležel na této kružnici nebo v její blízkosti; optimálně má ležet uvnitř nebezpečné kružnice. Hodnoty úhlů, graficky nebo číselně určené na novém bodu, se mají pohybovat v rozmezí 30 gon < ωi < 270 gon. (Obecně viz např. Vyhláška 31/1995 Sb., Příloha 10.) Pro jednotlivé varianty zpracování mohou platit další podmínky. Měření na další dané body vede k volbě více kombinací a následně k vyrovnání.

Tři běžně známá číselná řešení, tedy výpočet s pomocným úhlem, s pomocným (Collinsovým) bodem nebo Cassiniho řešení, jsou stále součástí základní výuky geodézie, respektive geodetického počtářství. Lze je snadno najít na webových stránkách různých vysokých i středních škol, zde je stačí připomenout obrázky 2 až 4. (Zdroj: Kovanič, Ĺ. – Matouš, J. – Mučka, A.: Důlní měřictví. Praha, SNTL 1990.)

Uhel.jpgCollins.jpgCassini.jpg

V naší praxi byl pro výpočet v úpravě Oldřicha Války s mechanickým nebo kapesním kalkulátorem určen zápisník č. 2.28 z roku 1983. Úloha byla používána například též pro vyhledání ztraceného bodu nebo v inženýrské geodézii při měření posunů. Rozbory přesnosti uvádí specializovaná literatura; za zmínku

Protraktor.jpg

stojí práce Jaroslava Pantoflíčka z roku 1909, který použil k vyrovnání protínání obdobu výpočtu rovnovážného stavu staticky neurčité pružné soustavy, známého ze stavební mechaniky. Případná nespolehlivost výsledku protínání a možnost výběru jiných metod a přístrojů vedla k tomu, že Metodický návod 984 128 MN-1 z roku 1985 v naší praxi nedovolil používat protínání zpět pro body základního polohového bodového pole a body tehdejší 1. třídy přesnosti podrobného PBP. V současnosti je ovšem protínání zpět do značné míry nahrazeno metodou volného stanoviska při měření totální stanicí.

Už méně známé jsou dnes metody grafického řešení v měřítku mapy, o nichž se krátce zmíním. V nejjednodušším případu byly potřebné dva vodorovné úhly,

Stul.jpg

určené na novém bodě graficky měřickým stolem nebo číselně úhloměrným přístrojem, vykresleny na průsvitku a ta přiložena na podklad se zobrazenou trojicí daných bodů tak, aby směry jimi procházely. Alternativně mohly být použity jednoduché pomůcky, tzv. protraktory (stigmografy) – tři pohyblivá kovová ramena se společnou osou ve spojovacím kloubu, mezi nimiž se na úhloměru nastavily příslušné úhlové hodnoty (Obr. 5, zdroj: web). Poloha nového bodu se označila vpichem jehlou v průsečíku směrů na průsvitce nebo otvorem ve středu kloubu protraktoru.

Při protínání zpět měřickým stolem býval volen postup s pomocným bodem. (Obr. 6, zdroj: Ryšavý, J. – Cach, F. aj.: Geodetická příručka. Praha, SNTL 1960). Na rýsovce byly vyneseny 3 body a, b, c, zobrazující v měřítku v daném souřadnicovém systému již dříve v terénu zaměřené signalizované body A, B, C. Stůl se bodem c zcentroval nad určovaným bodem S a orientoval se spojnicí c-a na bod A. Po zacílení na B se podle hrany záměrného pravítka vyrýsoval směr I. Postup se opakoval novým centrováním pomocí a, orientací a-c na C a po zacílení na B vyrýsováním směru II. Průsečík čar I a II je pomocným bodem q. Na vyrýsované spojnici q-b se vhodně zvolil bod s', který se použil k další centraci stolu nad S s  orientací s'-b (≡ s'-q) na B. (Tento stav je zachycen na Obr. 6.) Záměra  a-A pak protne spojnici q-b-s' v bodě s, který je zobrazením nově určeného bodu S. Kontrolou je opakování pomocí záměry c-C.